義務教育では習わない数学を大人だから学ぶ

 

 

第２５回　日本数学オリンピック予選　第二問より

 

～6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか～

記念すべき第一回目の問題は平方数の問題です。難易度は平易で、おそらく数学オリンピックでの正答率は100％でしょう。
しかし、数学的思考力を養うにあたっては非常にわかりやすく良問であるといえるので数学初心者の方も以下の６題を解き、数学的思考とはどういうものかを段階的に理解しましょう。
今日は以下のうち２番目の問いを解説します。

 

 

6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか① 6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか①

6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか① 6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか③

 

１．204を素因数分解しなさい。
２．50の正の約数をすべて答えなさい。
３．50の正の約数の個数を求めなさい。
４． √4を簡単な形に直しなさい。
５．50の正の約数かつ平方数はいくつあるか。
６．6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

以下解説

 

２．50の正の約数をすべて答えなさい。
　この問題も問1の問題と同様にまず用語の定義から考えましょう。

 

 

約数…ある整数Nを割り切れる整数のこと。
　つまり、Nにたいしての除数で、剰余が出ないような数字のことを指します。

 

 

　そうすると先ほど用いた素因数分解が使えそうですね。

 

 

　まず、50を素因数分解すると
50＝2×5²
となります。

 

 

この式から少なくとも50が2で割り切れることがわかります。
そうすると、除数で考えられるのは因数を用いた選び方になることがわかります、ですので剰余が出ない除数を求めることが出来るでしょう。

 

 

　以下に選び方を列挙します。
2⁰×5⁰、2¹×5⁰、2⁰×5¹、2¹×5、2⁰×5²、2¹×5²
　になるので解答は

  1.2. 5.10.25.50
　となります。

 

 

講師 大西優司