義務教育では習わない数学を大人だから学ぶ

第２５回　日本数学オリンピック予選　第二問より

～6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか～

記念すべき第一回目の問題は平方数の問題です。難易度は平易で、おそらく数学オリンピックでの正答率は100％でしょう。
しかし、数学的思考力を養うにあたっては非常にわかりやすく良問であるといえるので数学初心者の方も以下の６題を解き、数学的思考とはどういうものかを段階的に理解しましょう。
今日は以下のうち３番目の問いを解説します。

１．204を素因数分解しなさい。
２．50の正の約数をすべて答えなさい。
３．50の正の約数の個数を求めなさい。
４． √4を簡単な形に直しなさい。
５．50の正の約数かつ平方数はいくつあるか。
６．6000の正の約数であって平方数ではないものはいくつあるか。

50の正の約数の個数を求めなさい。
　問2を用いれば簡単に答えは出ますね。

　ただ、ここでは数学的に個数を考えてみましょう。

　問2と同じく50を素因数分解すると
50＝2×5²
　となります。
　ここから選び方に使える数字を列挙すると
2⁰ 、2¹ 、5⁰ 、5¹ 、5²

　そこで選び方に用いることが出来る場合の数は2を底とするとき２通り、5を底とするとき３通りあります。そして、2を底とする場合の数と5を底とする場合の数は同時に選ばれ得るので総数は場合の数の積で求められます。

　結果的に解答は6となりこれは第2問の個数に一致します。

※積の法則と和の法則について※
　今回の問題は場合の数の積で選び方の総数を求めました。ではなぜ、積で選び方の総数が求まるのかを見ていきましょう。

　まず、2×5² の選び方を確認します。

20×50、2⁰ ×5⁰ 、2⁰ ×5¹ 、2¹ ×5、2⁰ ×5² 、2¹ ×5² 　

　ここで気づいてもらいたいのは2⁰ を被乗数とした場合、乗数の選び方が3通りあることです。また、2¹ を被乗数とした場合も同じく乗数の選び方が3通りあります。つまり、場合の数が3のものが2通りあるということとなるので答えはそれらの積で求めることが出来るということになります。

　そこで考えたいのが「どんな場合に、選び方の総数を積で求めることが出来るのか」ということです。

　そのどんな場合にあたるものを積の法則と呼びます。

　 積の法則…ある場合が a 通り、別のある場合が b 通りあるとき、それらが同時に起こる場合、選び方の総数はそれらの積で求めることが出来る。
例）食いしん坊な男性がオムライス専門店とカレー専門店のどちらもで一食ずつご飯を食べようと思っている。オムライス専門店のメニュー総数は2通りでカレー専門店のメニュー総数が3通りだとすると選び方の総数は6通りとなる。

　また、選び方の総数は積の法則だけではなくて、和の法則からも考えられます。

　 和の法則…ある場合が a 通りと別のある場合が b 通りあり、それらが同時に起こることがないならば、選び方の総数はそれらの和で求めることが出来る。
例）標準的な男性がオムライス専門店かカレー専門店のどちらかでご飯を食べようと思っている。オムライス専門店のメニュー総数は2通りでカレー専門店のメニュー総数が3通りだとすると選び方の総数は5通りとなる。

大西優司